गति v = u + at के तीन समीकरण; s = ut + (1/2) at2 और v2 = u2 + 2as को नीचे बताए गए ग्राफ़ की सहायता से प्राप्त किया जा सकता है।
1. ग्राफिकल विधि द्वारा व्युत्पन्न v = u + पर
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए शरीर के वेग - समय ग्राफ पर विचार करें।
वेग - गति के समीकरणों को प्राप्त करने का समय ग्राफ।
शरीर में बिंदु A पर प्रारंभिक वेग u है और फिर A से B में समय दर पर एक समान दर से इसका वेग बदल जाता है। दूसरे शब्दों में, A से B तक एक समान त्वरण 'a' है, और समय के बाद t इसका अंतिम वेग 'v' हो जाता है जो ग्राफ़ में BC के बराबर है। समय टी OC द्वारा दर्शाया गया है। आकृति को पूरा करने के लिए, हम लंबवत CB को बिंदु C से खींचते हैं, और AD को OC के समानांतर खींचते हैं। BE बिंदु B से OE तक का लंबवत है
अब, शरीर का प्रारंभिक वेग, u = OA ------- (1)
और, शरीर का अंतिम वेग, v = BC -------- (2)
लेकिन ग्राफ से बीसी = बीडी + डीसी
इसलिए, v = BD + DC -------- (3)
फिर से डीसी = ओए
तो, v = BD + OA
अब, समीकरण (1) से, ओए = यू
तो, v = BD + u --------- (4)
हमें अब बीडी का मूल्य पता लगाना चाहिए।
हम जानते हैं कि एक वेग की ढलान - समय ग्राफ त्वरण के बराबर है, ए
इस प्रकार, एक्सेलेरेशन, लाइन एबी का ढलान =
या a = BD / AD
लेकिन AD = OC = t,
इसलिए उपरोक्त संबंध में AD की जगह t डालते हैं, हमें यह मिलता है:
a = बीडी / टी
या बीडी = पर
अब, BD के इस मान को समीकरण (4) में डालते हैं
v = at + u
इस समीकरण को देने के लिए फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है:
v = u + at
और यह गति का पहला समीकरण है।
इसे यहाँ चित्रमय विधि द्वारा व्युत्पन्न किया गया है।
2. ग्राफिकल विधि द्वारा व्युत्पन्न s = ut + (1/2) at2
गति का दूसरा समीकरण प्राप्त करने के लिए वेग-टाइम ग्राफ
वेग-समय ग्राफ गति के समीकरणों को प्राप्त करने के लिए।
मान लीजिए कि शरीर समय टी में दूरी की यात्रा करता है। उपरोक्त चित्र में, शरीर द्वारा तय की गई दूरी को वेग के बीच के स्थान - समय ग्राफ AB और समय अक्ष OC के बीच दिया गया है, जो कि OABC के क्षेत्र के बराबर है। इस प्रकार
दूरी की यात्रा = आंकड़ा OABC का क्षेत्र
= आयत OADC का क्षेत्रफल + त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल
अब हम आयत OADC का क्षेत्रफल और त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे।
(i) आयत OADC का क्षेत्रफल = OA × OC
= यू × टी
= ut ...... (5)
(ii) त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल = (1/2) × आयत AEBD का क्षेत्रफल
= (1/2) × AD × BD
= (1/2) × t × at (क्योंकि AD = t और BD = at)
= (1/2) at2 ------ (6)
इसलिए, दूरी की यात्रा की, s = त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल OADC + क्षेत्रफल
या s = ut + (1/2) at2
यह गति का दूसरा समीकरण है। इसे यहाँ चित्रमय विधि द्वारा व्युत्पन्न किया गया है।
3. ग्राफिकल विधि द्वारा व्युत्पन्न v2 = u2 + २ास
वेग-समय ग्राफ गति के समीकरणों को प्राप्त करने के लिए।
हमने अभी देखा है कि समय टी में शरीर द्वारा तय की गई दूरी OABC के क्षेत्र द्वारा दी गई है जो एक ट्रेपेज़ियम है।
दूसरे शब्दों में,
दूरी की यात्रा, s = ट्रेपेज़ियम OABC का क्षेत्र
दूरी की यात्रा = ट्रेपेज़ियम का क्षेत्र
अब, OA + CB = u + v और OC = t।
इन मूल्यों को उपरोक्त संबंध में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं
अब हम उपरोक्त समीकरण से t को समाप्त करना चाहते हैं।
यह गति के पहले समीकरण से t का मान प्राप्त करके किया जा सकता है।
इस प्रकार, v = u + at (गति का पहला समीकरण)
और, at = v - u या
अब, t के इस मान को समीकरण (7) के ऊपर रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
या 2as = v2 - u2 [क्योंकि (v + u) × (v - u) = v2 - u2]
या v2 = u2 + 2as
यह गति का तीसरा समीकरण है।
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